Do p là nửa chu vi tam giác nên \(2p=a+b+c\)

Ta có bổ đề sau: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Áp dụng vào bài toán: 

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\)

Tương tự: \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a},\)\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}=4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.

Đặt ⎧⎪⎨⎪⎩a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0){a+b−c=xb+c−a=yc+a−b=z(x,y,z>0)

⇒⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩a=z+x2b=x+y2c=y+z2⇒{a=z+x2b=x+y2c=y+z2

⇒√a(1b+c−a−1√bc)=√2(z+x)2(1y−2√(x+y)(y+z))≥√x+√z2(1y−2√xy+√yz)=√x+√z2y−1√y⇒a(1b+c−a−1bc)=2(z+x)2(1y−2(x+y)(y+z))≥x+z2(1y−2xy+yz)=x+z2y−1y
Tương tự

⇒∑√a(1b+c−a−1√bc)≥∑√x+√z2y−∑1√y⇒∑a(1b+c−a−1bc)≥∑x+z2y−∑1y

⇒VT≥∑[x√x(y+z)]2xyz−∑√xy√xyz≥2√xyz(x+y+z)2xyz−x+y+z√xyz≐x+y+z√xyz−x+y+z√xyz=0⇒VT≥∑[xx(y+z)]2xyz−∑xyxyz≥2xyz(x+y+z)2xyz−x+y+zxyz≐x+y+zxyz−x+y+zxyz=0

(∑√xy≤x+y+z,x√x(y+z)≥2x√xyz)(∑xy≤x+y+z,xx(y+z)≥2xxyz)

dấu = ⇔x=y=z⇔a=b=c

Mai Anh ! cậu giỏi quá, cậu nè :33 

Ha~ Idol về mảng copy nay giỏi quá lè:33. Tác hại của việc copy paste là đây

Lần sai copy paste nhớ nhìn lại với chỉnh sửa đi nhá. Ko để này lộ liễu bôi bác lắm

Copy always mà vẫn 50k giải tuần đấy, ghê=))

\(1)\)

\(A=a\left(a^2+2b\right)+b\left(b^2-a\right)=a^3+2ab+b^3-ab=a^3+b^3+ab\)

\(A=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab=a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{1+1}=\frac{1}{2}\) ( Cauchy-Schwarz dạng Engel ) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=\frac{1}{2}\)

\(2)\)

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}=\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-a}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-b}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-c}\)

\(=2\left(\frac{1}{-a+b+c}+\frac{1}{a-b+c}+\frac{1}{a+b-c}\right)\)

Có : \(\hept{\begin{cases}b-a< c\\c-b< a\\a-c< b\end{cases}}\)

\(2\left(\frac{1}{-a+b+c}+\frac{1}{a-b+c}+\frac{1}{a+b-c}\right)>2\left(\frac{1}{2c}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) ??? 

1.  A = a(a² + 2b) + b(b² - a)

A = a³ + 2ab + b³ - ab

A = a³ + ab + b³

A = ( a + b ) ( a² - ab + b² ) + ab

A = a² + b²

Mà ( a - b )² \(\ge\)0 với mọi a,b

 \(\Rightarrow\)a² + b² \(\ge\)2ab \(\Rightarrow\)2 . ( a² + b² ) \(\ge\)( a + b )² = 1 \(\Rightarrow\)( a² + b² ) \(\ge\)\(\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\)A \(\ge\)\(\frac{1}{2}\)  . Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b \(\frac{1}{2}\)

2) vì a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên a,b,c > 0 ; p - a > 0 ; p - b > 0 ; p - c > 0

Áp dụng BĐT : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\). Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y

Ta có : \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\)

Tương tự : \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{2p-b-c}=\frac{4}{a};\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{2p-c-a}=\frac{4}{b}\)

Cộng từng vế 3 BĐT, ta được : 

\(2.\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c

Ta có:  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)   \(\left(\text{*}\right)\) , với  \(a,b>0\)  (vì  

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương  \(a,b>0\), ta được:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)   và  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\)

Do đó,  \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)  \(\Leftrightarrow\)  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b\)

Vậy, bất đẳng thức  \(\left(\text{*}\right)\)  đã được chứng minh.

                                                               \(----------------------\)

Vì  \(a,b,c,p\)  lần lượt là độ dài ba cạnh và nửa chu vi của tam giác nên \(a,b,c,p>0\)

Áp dụng  bất đẳng thức \(\left(\text{*}\right)\)  với  \(p-a,\)  \(p-b,\)  \(p-c\)  là các số dương, ta có:

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{\left(p-a+p-b\right)}=\frac{4}{\left(2p-a-b\right)}=\frac{4}{c}\)  \(\left(1\right)\)

\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{\left(p-b+p-c\right)}=\frac{4}{\left(2p-b-c\right)}=\frac{4}{a}\)  \(\left(2\right)\)

\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{\left(p-c+p-a\right)}=\frac{4}{\left(2p-c-a\right)}=\frac{4}{b}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right);\)  và  \(\left(3\right)\)  lần lượt vế theo vế, ta được:

\(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)  

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(p-a=p-b=p-c\), tức là  \(a=b=c\)  hay tam giác đã cho là tam giác đều (vì có 3 cạnh bằng nhau).

a) Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có: 

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{a+b+c-a-b}=\frac{4}{c}\left(p=\frac{a+b+c}{2}\right)\)

Tương tự rồi cộng theo vế:

\(2VT\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}=2VP\Leftrightarrow VT\ge VP\)

Dấu "=" khi \(a=b=c\)

b)sai đề

\(2ab+3bc+4ca=5abc\)

Do a,b,c lần lượt là độ dài 3 cạnh của tam giác  

\(\Rightarrow\frac{2ab}{abc}+\frac{3bc}{abc}+\frac{4ca}{abc}=\frac{5abc}{abc}\Rightarrow\frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{4}{b}=5\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)với x,y >0 (Dấu "=" xảy ra khi x=y) 

Ta có: \(P=\frac{7}{a+b-c}+\frac{6}{b+c-a}+\frac{5}{a+c-b}\)

\(=\left(\frac{2}{b+c-a}+\frac{2}{c+a-b}\right)+\left(\frac{3}{c+a-b}+\frac{3}{a+b-c}\right)+\left(\frac{4}{a+b-c}+\frac{4}{b+c-a}\right)\)

\(=2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)+3\left(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)+4\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\right)\)

\(\ge\frac{8}{2c}+\frac{12}{2a}+\frac{16}{2b}=2\left(\frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{4}{b}\right)=10\)

Vậy ...

                                  Lời giải

Theo đề bài thì \(p=\frac{a+b+c}{2}\Rightarrow p-a=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{b+c-a}{2}\)

Tương tự: \(p-b=\frac{c+a-b}{2};p-c=\frac{a+b-c}{2}\)

Ta cần c/m: \(\frac{2}{b+c-a}+\frac{2}{c+a-b}+\frac{2}{a+b-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Ta có: \(VT=\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)+\left(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)+\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\right)\)

\(\ge\frac{4}{2c}+\frac{4}{2a}+\frac{4}{2b}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{\left(đpcm\right)}\)

Ta có:\(p-a=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{b+c-a}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{p-a}=\frac{2}{b+c-a}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{1}{p-b}=\frac{2}{a+c-b}\)

\(\frac{1}{p-c}=\frac{2}{a+b-c}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}=2\left(\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng engel ta có:

\(\frac{1}{b+c-a}=\frac{\left(1+1-1\right)^2}{b+c-a}\ge\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a}\)

Tương tự,ta có:

\(\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\)

\(\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{c}-\frac{1}{b}\)

Cộng vế theo vế ta được:

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{đpcm}\)